波门

目标跟踪中波门形状与参数

环形波门

环形波门一般用于航迹起始的初始化，是半径为$V_{min}\times T$和$V_{max}\times T$的圆包围的圆环

椭圆（球）波门

若传感器测得的目标直角坐标系下的转换量测值 $Z_{c}(k+1)$ 满足:

$$\begin{aligned} \tilde{V}_{k+1}(\gamma) \underline{\Delta} &\left[\boldsymbol{Z}_{c}(k+1)-\hat{\boldsymbol{Z}}_{c}(k+1 \mid k)\right]^{\prime} \boldsymbol{S}^{-1}(k+1)\left[\boldsymbol{Z}_{c}(k+1)-\hat{\boldsymbol{Z}}_{c}(k+1 \mid k)\right] \\ &=\boldsymbol{v}_{c}^{\prime}(k+1) \boldsymbol{S}^{-1}(k+1) \boldsymbol{v}_{c}(k+1) \leqslant \gamma \end{aligned}$$

则称转换量测值 $\boldsymbol{Z}_{c}(k+1)$ 为候选回波，上式称为椭圆（球）波门规则。其中参数 由 $\chi^{2}$ 分布表获得。若量测值 $\boldsymbol{Z}_{c}(k+1)$ 为 $n_{z}$ 维，则 $\tilde{\boldsymbol{V}}_{k+1}(\gamma)$ 是将残差标准化后的具有 $n_{z}$ 个自由度的 $\chi^{2}$ 分布随机变量。

$\gamma$的值可以通过matlab函数chi2inv(1-alpha,nz)生成

对于不同 $\gamma$ 值和不同量测维数 $n_{z},$ 真实转换量测落入波门内的概率 $P_{\mathrm{G}}$ 就不同，定义

$$P_{\mathrm{G}}=\operatorname{Pr}\left\{\boldsymbol{Z}_{c}(k+1) \in \tilde{V}_{k+1}(\gamma)\right\}$$

$P_{\mathrm{G}}$ 与量测维数 $n_{z}$ 和参数 $\gamma$ 的关系式可用下表表示。

相应的$P_G$计算的matlab代码如下：

function P_G = PG(gamma,N_z)
% 只实现了4维
    switch (N_z)
        case 1
            P_G = 2*(normcdf(sqrt(gamma)) - normcdf(0));
        case 2
            P_G = 1-exp(-gamma/2);
        case 3
            P_G = 2*(normcdf(sqrt(gamma)) - normcdf(0)) - sqrt(2*gamma/pi)*exp(-gamma/2);
        case 4
            P_G = 1-(1+gamma/2)*exp(-gamma/2);
        otherwise
    end
end

$n_{z}$ 维析圆（球）波门的面（体）积为

$$V_{\text {椭}}\left(n_{z}\right)=c_{n_{z}} \gamma^{\frac{n_{z}}{2}}|\boldsymbol{S}(k+1)|^{\frac{1}{2}}$$

式中

$$c_{n_{z}}=\left\{\begin{array}{cc} \frac{\pi^{\frac{n_{z}}{2}}}{\left(n_{z} / 2\right) !}, & n_{z} \text { 为偶数 } \\ \frac{2^{n_{z}+1}\left(\frac{n_{z}+1}{2}\right) ! \pi^{\frac{n_{z}-1}{2}}}{\left(n_{z}+1\right) !}, & n_{z} \text { 为奇数 } \end{array}\right.$$

当 $n_{z}=1,2,3$ 时， $c_{n_{z}}$ 分别为 $2, \pi$ 和 $4 \pi / 3$。

利用新息协方差的标准差归一化可以得到

$$V^{u}_{\text {椭}}\left(n_{z}\right)=c_{n_{z}} \gamma^{\frac{n_{z}}{2}}$$

通过下式进行归一化：

$$\frac{\boldsymbol{Z}_{c}(k+1)-\hat{\boldsymbol{Z}}_{c}(k+1 \mid k)}{\sqrt{\mid\mathbf{S(k+1)}\mid}}$$

相应的$V_{\text {椭}}\left(n_{z}\right)$计算的matlab代码如下：

function [Volume] = ellipse_Volume(gamma,N_z,S)
    switch (N_z)
        case 1
            Volume = 2*sqrt(gamma)*sqrt(det(S));
        case 2
            Volume = pi*gamma*sqrt(det(S));
        case 3
            Volume = 4*pi/3*gamma^(3/2)*sqrt(det(S));
        otherwise
    end
end