非机动目标跟踪与最优滤波

目标跟踪中的最优贝叶斯滤波

目标动态方程：$\mathbf{x}_k = g(\mathbf{x}_{k-1},\mathbf{v}_k)$

传感器观测方程：$\mathbf{y}_k = l(\mathbf{x}_{k},\mathbf{w}_k)$

由目标动态方程可以得到转移密度函数$p(\mathbf{x}_k \mid \mathbf{x}_{k-1})$
由传感器观测方程可以得到似然函数$p(\mathbf{y}_k \mid \mathbf{x}_k)$
要注意一点是当$g,l$都是线性并且$\mathbf{v}_k$和$\mathbf{w}_k$是高斯噪声时，$\mathbf{x}_k$的后验概率密度时高斯形式的。

一步预测

$$p\left(\mathbf{x}_{k} \mid \mathbf{y}^{k-1}\right)=\int p\left(\mathbf{x}_{k} \mid \mathbf{x}_{k-1}\right) p\left(\mathbf{x}_{k-1} \mid \mathbf{y}^{k-1}\right) \mathrm{d} \mathbf{x}_{k-1}$$

后验概率密度函数更新

$$p\left(\mathbf{x}_{k} \mid \mathbf{y}^{k}\right)=\frac{1}{p\left(\mathbf{y}_{k} \mid \mathbf{y}^{k-1}\right)} p\left(\mathbf{y}_{k} \mid \mathbf{x}_{k}\right) p\left(\mathbf{x}_{k} \mid \mathbf{y}^{k-1}\right)$$

最优非机动目标跟踪滤波

目标动态方程：$\mathbf{x}_k = f(\mathbf{x}_{k-1})+\mathbf{v}_k$
转移密度函数：$p(\mathbf{x}_{k}\mid \mathbf{x}_{k-1}) = p_{\mathbf{v}_{k}}(\mathbf{x}_k -f(\mathbf{x}_{k-1}) )$

传感器观测方程：$\mathbf{y}_k = h(\mathbf{x}_{k})+\mathbf{w}_k$
似然函数：$p(\mathbf{y}_{k}\mid \mathbf{x}_{k}) = p_{\mathbf{w}_{k}}(\mathbf{y}_k -h(\mathbf{x}_{k}) )$

计算后验概率密度函数

$$p\left(x_{k} \mid y^{k}\right) =\frac{p_{w_{k}}\left(y_{k}-h\left(x_{k}\right)\right) \int p_{v_{k}}\left(x_{k}-f\left(x_{k-1}\right)\right) p\left(x_{k-1} \mid y^{k-1}\right) d x_{k-1}}{\int p_{w_{k}}\left(y_{k}-h\left(x_{k}\right)\right) p\left(x_{k} \mid y^{k-1}\right) d x_{k}}$$

其中

$$p\left(x_{k} \mid y^{k-1}\right) =\int p_{v_{k}}\left(x_{k}-f\left(x_{k-1}\right)\right) p\left(x_{k-1} \mid y^{k-1}\right) d x_{k-1}$$

应用上式的不同假设条件有：
A1 目标动态和观测方程是线性的：

$$\begin{array}{l} \mathbf{x}_{k}= \mathbf{F} \mathbf{x}_{k-1}+\mathbf{v}_{k} \\ \mathbf{y}_{k}=\mathbf{H} x_{k}+\mathbf{w}_{k} \end{array}$$

A2 $\mathbf{v}_{k}$ 和 $\mathbf{w}_{k}$ 是均值为突且噪声协方差分别为 $\mathbf{Q}_{k}$ 和 $\mathbf{R}_{k}$ 的高斯白噪声
A3 $k-1$ 时刻后验概率密度 $p\left(\mathbf{x}_{k-1} \mid \mathbf{y}^{k-1}\right)$ 是均值为 $\hat{\mathbf{x}}_{k-1| k-1}$，方差为$\mathbf{P}_{k-1 | k-1}$的高斯形式。